Question

已知為常數(shù)，且，函數(shù)， 
（是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)和（），使得對每一個(gè)，直線與曲線都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)和最大的實(shí)數(shù)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為,當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(3) 當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)和，使得對每一個(gè)，直線與曲線都有公共點(diǎn)，可得.

試題分析：(1) 由可解得的值；（2）對函數(shù)求導(dǎo)可得，對進(jìn)行討論，解，分別可得單調(diào)遞增與遞減區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，，求出導(dǎo)數(shù)判斷在的變化情況，得在區(qū)間內(nèi)值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054524116391.png" style="vertical-align:middle;" />，假設(shè)存在題目中要求的點(diǎn)，那么每一個(gè)，直線與曲線都沒有公共點(diǎn)．
解： (1)由，得；             2分
（2）由（Ⅰ），．定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054524335566.png" style="vertical-align:middle;" />．      .3分
從而，                      ..4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054523243403.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
當(dāng)時(shí)，由得，由得；5分
當(dāng)時(shí)，由得，由得；6分
因而，　當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為， ..7分
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．     .8分
(3)當(dāng)時(shí)，．．令，則．
當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

		單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

   10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054525208499.png" style="vertical-align:middle;" />，所以在區(qū)間內(nèi)值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054524116391.png" style="vertical-align:middle;" />．  .11分
由此可得，
若，則對每一個(gè)，直線與曲線都有公共點(diǎn)，  .12分
并且對每一個(gè)，直線與曲線都沒有公共點(diǎn)．  .13分
綜合以上，當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)和，使得對每一個(gè)，直線與曲線都有公共點(diǎn)．  .14分