Question

（本小題滿分14分）

已知如圖5，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為矩形，且PA=AD=1,AB=2, ,.

(1)求證：平面平面；

(2)求三棱錐D－PAC的體積；

(3)求直線PC與平面ABCD所成角的正弦值．                                     圖5

Answer 1

(1)證明：∵ABCD為矩形

∴且--------------------------------------1分

∵   ∴且 --------------------2分

∴平面,又∵平面PAD

∴平面平面-----------------------------------------5分

(2) ∵----------------------------------7分

由（1）知平面，且  ∴平面-------------8分

∴----10分

（3）解法1：以點A為坐標原點，AB所在的直線為ｙ軸建立空間直角坐標系如

右圖示，則依題意可得,,

可得, ----------------------------12分

平面ABCD的單位法向量為，設直線PC與平面ABCD所成角為，

則

∴，即直線PC與平面ABCD所成角的正弦值.---------------------14分

解法2：由（1）知平面，∵面

∴平面ABCD⊥平面PAB, 在平面PAB內，過點P作PE⊥AB，垂足為E，

則PE⊥平面ABCD，連結EC，則∠PCE為直線PC與平面ABCD所成的角-------------12分

在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,又

∴

在Rt△PEC中.即直線PC與平面ABCD所成角的正弦值.--------14分