Question

【題目】解答題。
（1）如圖，證明命題“a是平面π內的一條直線，b是π外的一條直線（b不垂直于π），c是直線b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”為真．
（2）寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明）

Answer 1

【答案】
（1）證明：證法一：如圖，過直線b上任一點作平面α的垂線n，設直線a，b，c，n對應的方向向量分別是 ，則 共面，

根據平面向量基本定理，存在實數λ，μ使得 ，

則 =

因為a⊥b，所以 ，

又因為aα，n⊥α，

所以 ，

故 ，從而a⊥c

證法二

如圖，記c∩b=A，P為直線b上異于點A的任意一點，過P做PO⊥π，垂足為O，則O∈c，

∵PO⊥π，aπ，

∴直線PO⊥a，

又a⊥b，b平面PAO，PO∩b=P，

∴a⊥平面PAO，

又c平面PAO，

∴a⊥c

（2）證明：逆命題為：a是平面π內的一條直線，b是π外的一條直線（b不垂直于π），c是直線b在π上的投影，若a⊥c，則a⊥b，

逆命題為真命題

【解析】（1）證法一：做出輔助線，在直線上構造對應的方向向量，要證兩條直線垂直，只要證明兩條直線對應的向量的數量積等于0，根據向量的運算法則得到結果．證法二：做出輔助線，根據線面垂直的性質，得到線線垂直，根據線面垂直的判定定理，得到線面垂直，再根據性質得到結論．（2）把所給的命題的題設和結論交換位置，得到原命題的逆命題，判斷出你命題的正確性．