Question

已知函數f(x)=3-2sin2ωx-2cos(ωx+

π

2

)cosωx(0＜ω≤2)的圖象過點(

π

16

，2+

2

)．
（Ⅰ）求ω的值及使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）該函數的圖象可由函數y=

2

sin4x(x∈R)的圖象經過怎樣的變換得出？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由倍角公式和兩角和的正弦公式對解析式進行化簡，把已知點代入根據ω的范圍求出ω的值，根據正弦函數的最小值，即當sin(4x+

π

4

)=-1時，函數有最小值，求出對應的x的集合；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的解析式和圖象變換法則，即“左加右減”和“上加下減”，進行圖象變換．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=3-（1-cos2ωx）+2sinωcosωx=2+cos2ωx+sin2ωx（2分）
=2+

2

sin(2ωx+

π

4

)（3分）
∵函數f（x）的圖象過點(

π

16

，2+

2

)
∴2+

2

=2+

2

sin(2ω×

π

16

+

π

4

)
即sin(

π

8

ω+

π

4

)=1，∴

π

8

ω+

π

4

=2kπ+

π

2

(k∈Z)
∴0＜ω≤2，∴當k=0時，ω=2即的求ω的值為2（6分）
故f(x)=2+

2

sin(4x+

π

4

)
當f（x）取最小值時，sin(4x+

π

4

)=-1，此時4x+

π

4

=2kπ-

π

2

(k∈Z)
∴x=

kπ

2

-

3

16

π(k∈Z)．
即，使f（x）取得最小值的x的集合為{x|x=

kπ

2

-

3

16

π，k∈Z}（9分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=2+

2

sin(4x+

π

4

)
∴函數f(x)=2+

2

sin(4x+

π

4

)的圖象可由y=

2

sin4x的圖象經過以下變換得出；
先把y=

2

sin4x圖象上所有的點向左平移

π

16

個單位長度，
得到函數y=

2

sin(4x+

π

4

)的圖象，再把所得圖象上的所有點，
向上平移2個單位長度，從而得到函數y=2+

2

sin(4x+

π

4

)，x∈R的圖象．（12分）

點評：本題的考點是圖象的變換和解析式的求法，應先對解析式化簡再把條件代入，利用知識點有倍角公式和兩角和的正弦公式，圖象變換法則和正弦函數的性質，考查了整體思想．