Question

已知兩定點F₁(-,0),F₂(,0)滿足條件||-||=2的點P的軌跡是曲線C,直線y=kx-2與曲線C交于A、B兩點,且||=.

(1)求曲線C的方程;

(2)若曲線C上存在一點D,使+=m,求m的值及點D的坐標.

Answer 1

解:(1)由雙曲線的定義可知曲線C是以F₁(-,0),F₂(,0)為焦點的雙曲線的左半支.

且c=,2a=2,a=1,故b=1,所以軌跡C的方程是x²-y²=1(x＜0).

(2)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由題意得方程組消去y得(1-k²)x²+4kx-5=0.

又已知直線與曲線C交于A、B兩點,

故有解得-＜k＜-1.

∵|AB|=|x₂-x₁|=·=2=,

∴=.設t=k²,得7t²-23t-20=0,(t-4)(7t+5)=0.∴t=4,t=(舍).

又由k²=4,舍去k=2,得k=-2,于是直線AB的方程為y=-2x-2,即2x+y+2=0.

由解得

不妨設=(-1,0),=(,),由+=m,故有=(,).

將D點坐標代入曲線C的方程,得=1.解得m=±,但當m=時,

點D在雙曲線右支上,不合題意,∴m=.

∴點D的坐標為(,).