Question

國家助學貸款是由財政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭經濟困難學生支付在校學習期間所需的學費、住宿費及生活費．每一年度申請總額不超過6000元．某大學2010屆畢業生李順在本科期間共申請了24000元助學貸款，并承諾在畢業后3年內（按36個月計）全部還清．簽約的單位提供的工資標準為第一年內每月1500元，第13個月開始，每月工資比前一個月增加5%直到4000元．李順同學計劃前12個月每個月還款額為500元，第13個月開始，每月還款額比前一月多x元．
（1）若李順恰好在第36個月（即畢業后三年）還清貸款，求x的值；
（2）當x=50時，李順同學將在第幾個月還清最后一筆貸款？他還清貸款的那一個月的工資余額是多少？
（參考數據：1.05¹⁸=2.406，1.05¹⁹=2.526，1.05²⁰=2.653，1.05²¹=2.786）

Answer 1

分析：（1）前12個月還款額是常數列，后24個月每月多x元，此36個數相加等于24000，得到x的一次方程，求出即可；
（2）設第n個月還清，前12個月每月還款500，后來（n-12）個月每月多還50，此n個數相加不小于24000，建立不等式解出n的范圍，取最小整數即可．

解答：解：（1）依題意，從第13個月開始，每月還款額比前一個月多x元，
故12×500+（500+x）+（500+2x）+…+（500+24x）=24000
即36×500+（1+2+3+…+24）x=24000，解得x=20（元）．（6分）
即要使在三年全部還清，第13個月起每個月必須比上一個月多還20元．（7分）
（2）設李順第n個月還清，則應有12×500+（500+50）+（500+2×50）+…+[500+（n-12）×50]≥24000
即n²-3n-828≥0，解之得n≥

3+ 3321

2

＞30，取n=31．（10分）
即李順工作31個月就可以還清貸款．
這個月李順的還款額為24000-[12×500+（500+50）×（30-12）+

(30-12)(30-12-1)

2

•50]=450元（12分）
第31個月李順的工資為1500×1.05¹⁹=1500×2.526=3789元．
因此，李順的剩余工資為3789-450=3339．（14分）

點評：本題主要考查一元二次不等式的應用，數列的基本應用和等差數列的性質，考查等價轉化和建模能力．