Question

已知函數f（x）=ax+

b

x-1

-a（a∈R，a≠0）在x=3處的切線方程為（2a-1）x-2y+3=0
（1）若g（x）=f（x+1），求證：曲線g（x）上的任意一點處的切線與直線x=0和直線y=ax圍成的三角形面積為定值；
（2）若f（3）=3，是否存在實數m，k，使得f（x）+f（m-x）=k對于定義域內的任意x都成立；
（3）若方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|有三個解，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導數：f′（x）=a-

b

(x-1) 2

利用導數的幾何意義求出切線方程，令x=0 得y=

4

x   0

； 再令y=ax得 x=2x₀，從而證得三角形面積為定值；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在m，k滿足題意，再利用 

2(m-2)

(x-1)(m-x-1)

=k+2-m對定義域內任意x都成立，求出m，k，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
（3）由題意知，x-1+

2

x-1

=t（x²-2x+3）|x|，分離出t：t=

1

|x|(x-1)

，畫出此函數的圖象，由圖可知t的取值范圍．

解答：證明：（1）因為 f′（x）=a-

b

(x-1) 2

所以 f′（3）=a-

b

4

=

2a-1

2

，b=2…（2分）
又 g（x）=f（x+1）=ax+

2

x

，
設g（x）圖象上任意一點P（x₀，y₀）因為 g′（x）=a-

2

x 2

，
所以切線方程為y-（ax₀+

2

x 2 0

）=（a-

2

x 2 0

）（x-x₀）…（4分）
令x=0 得y=

4

x   0

； 再令y=ax得 x=2x₀，
故三角形面積S=

1

2

|

4

x   0

||2x₀|=4，
即三角形面積為定值．…（6分）
解：（2）由f（3）=3得a=1，f（x）=x+

2

x-1

-1假設存在m，k滿足題意，
則有x-1+

2

x-1

+m-x-1+

2

m-x-1

=k
化簡，得 

2(m-2)

(x-1)(m-x-1)

=k+2-m對定義域內任意x都成立，…（8分）
故只有

m-2=0 k+2-m=0

解得

m=2 k=o

所以存在實數m=2，k=0使得f（x）+f（m-k）=k對定義域內的任意都成立．…（11分）
（3）由題意知，x-1+

2

x-1

=t（x²-2x+3）|x|
因為x≠0，且x≠1
化簡，得 t=

1

|x|(x-1)

…（13分）
即

1

t

=|x|（x-1）…（15分）
如圖可知，-

1

4

＜

1

t

＜0
所以t＜-4即為t的取值范圍．…（16分）

點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的極值、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．