Question

【題目】如果關于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集為空集．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）若實數b與實數a取值范圍完全相同，求證：|1﹣ab|＞|a﹣b|

Answer 1

【答案】
（1）解：由于|x﹣3|+|x﹣4|≤表示數軸上的x對應點到3、4對應點的距離之和，它的最小值為1，

由于關于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集為空集，

故|a|＜1，求得﹣1＜a＜1

（2）解：若實數b與實數a取值范圍完全相同，即﹣1＜b＜1，即|b|＜1，

|1﹣ab|＞|a﹣b|，等價于 （1﹣ab）2＞（a﹣b）2，等價于1+a2b2﹣a2﹣b2＞0，

等價于 （1﹣a2）（1﹣b2）＞0．

由于（1﹣a2）＞0，且（1﹣b2）＞0，故（1﹣a2）（1﹣b2）＞0成立，即|1﹣ab|＞|a﹣b|成立

【解析】（1）由條件利用絕對值的意義，求得實數a的取值范圍．（2）要證的不等式等價于 （1﹣a2）（1﹣b2）＞0，由條件得到（1﹣a2）＞0，且（1﹣b2）＞0，不等式得證．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．