Question

（文）（1）用坐標法證明公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）證明：cos（α+β）cos（α-β）=cos²α-sin²β．

Answer 1

分析：（1）如圖，在直角坐標系xOy內做單位圓O，并作出角α、β，求出

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinα sinβ，設

OA

 與

OB

 
的夾角為θ，則 θ=2kπ+α-β，k∈z，且

OA

•

OB

=|

OA|

•

|OB

|•cosθ=cosθ，由此可得所證的結論成立．
（2）由 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，可得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，利用同角三角函數間的關系化簡
cos（α+β）cos（α-β）=cos²α-sin²β，命題得證．

解答：（1）證明：如圖，在直角坐標系xOy內做單位圓O，并作出角α、β，使角α、β 的始邊為Ox軸，
角α、β的終邊與單位圓的交點分別為A、B，則

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（cosβ，sinβ）．
∴

OA

•

OB

=（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ ）=cosαcosβ+sinα sinβ．
設

OA

 與

OB

 的夾角為θ，則 θ=2kπ+α-β，k∈z，且

OA

•

OB

=|

OA|

•

|OB

|•cosθ=cosθ．
∴cosθ=cos（α-β）=cosαcosβ+sinα sinβ，故cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 成立．

（2）證明：∵cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
∴cos（α+β）cos（α-β）=（cosαcosβ+sinαsinβ）（cosαcosβ-sinαsinβ）=cos²αcos²β-sin²α•sin²β
=cos²α（1-sin²β）-sin²α•sin²β=cos²α-sin²β．
∴cos（α+β）cos（α-β）=cos²α-sin²β 成立．

點評：本小題主要考查兩角和的正、余弦公式、誘導公式、同角三角函數間的關系等基礎知識及運算能力．