Question

如圖，邊長為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點為M，，且AC=BC.
（1）求證：平面EBC；
（2）求二面角的大小.

Answer 1

（1）祥見解析；(2)．

試題分析：由已知四邊形是正方形，知其兩條對角線互相垂直平分，且，又因為平面平面，平面，故可以以點為原點，以過點平行于的直線為軸，分別以直線和為軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標系；又因為正方形ACDE的邊長為2，且三角形ABC是以角C為直角的直角三角形，從而就可以寫出點A，B，C，E及點M的空間直角坐標；則（1）求出向量的坐標，從而可證，這樣就可證明直線AM與平面EBC內的兩條相交直線垂直，故得直線AM與平面EBC垂直；(2)由（1）知是平面EBC的一個法向量，其坐標已求，再設平面EAB的一個法向量為，則由且，可求得平面EAB的一個法向量；從而可求出所求二面角的兩個面的法向量夾角的余弦值，由圖可知所求二面角為銳二面角，故二面角的余弦值等于兩個面的法向量夾角余弦值的絕對值，從而就可求得所求二面角的大小．另本題也可用幾何方法求解證明．
試題解析：∵四邊形是正方形 ， ，
∵平面平面，平面，           
∴可以以點為原點，以過點平行于的直線為軸，    
分別以直線和為軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
設，則，
是正方形的對角線的交點，．

(1) ，，，
，    
      
平面．        
(2) 設平面的法向量為，則且，
且．
     即      
取，則， 則．
又∵為平面的一個法向量，且，
，
設二面角的平面角為，則，
∴二面角等于．
（1） ，（2）均可用幾何法