Question

設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。
 （1）求直線A₁P與A₂Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；
 （2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）由A₁、A₂分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)知


兩式相乘得
∵點(diǎn)P（x₁，y₁）在雙曲線上
，即
∴
∴
即直線A₁P與A₂Q交點(diǎn)的軌跡E的方程為；
（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且
又設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，
由消去y，得
則
即
設(shè)
則
∴
要使，需使
即0
∴
解得或
∵直線y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，
∴圓的半徑為
，故所求圓為
此時(shí)圓的切線y=kx+m都滿足或
而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為與橢圓
的兩個(gè)交點(diǎn)為或
滿足
綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B
且。