Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x+m），且f（0），f（2），f（6）成等差數(shù)列．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，試比較f（a）+f（c）與2f（b）的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x=0，2，6代入函數(shù)解析式，表示出f（0），f（2），f（6），由f（0），f（2），f（6）成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)后，得到關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）把x=a，c及b分別代入函數(shù)解析式表示出f（a）+f（c）及f（b），根據(jù)a，b，c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到關(guān)系式b²=ac，先表示出兩真數(shù)之差（a+2）（c+2）-（b+2）²，利用多項(xiàng)式的乘法法則及完全平方公式化簡(jiǎn)后把b²=ac代入，再利用基本不等式求出a+c的最小值，判斷出差大于0，進(jìn)而得到（a+2）（c+2）與（b+2）²的大小，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)2大于1，對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，可判斷出f（a）+f（c）與2f（b）的大小．
解答：解：（1）由f（0），f（2），f（6）成等差數(shù)列，
得2log₂（2+m）=log₂m+log₂（6+m），（2分）
即 （m+2）²=m（m+6）（m＞0），∴m=2（5分）
（2）f（a）+f（c）=log₂（a+2）（c+2），2f（b）=log₂（b+2）²（7分）
∵b²=ac，
∴（a+2）（c+2）-（b+2）²=2（a+c）-4b（9分）
∵，
∴2（a+c）-4b＞0（11分）
∴l(xiāng)og₂（a+2）（c+2）＞log₂（b+2）²，
則f（a）+f（c）＞2f（b）．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，本題的第二問(wèn)是利用作差的方法來(lái)比較大小的，注意此方法的運(yùn)用．