Question

數列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=2，2a_n+1=a_n+n，b_n=a_n-n+2（n∈N^*）
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）設數列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為A_n、B_n，問是否存在實數λ，使得{

An+λBn

n

}為等差數列？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據所給的兩個式子，變形消去a_n+1和a_n，得到有關{b_n}的遞推公式，進而判斷出該數列是等比數列，再代入通項公式即可；
（2）由（1）的結果和等差（等比）數列的前n項和公式，求出A_n、B_n的關系式，再表示出

An+λBn

n

，
再由等差數列通項公式的特點進行求值．

解答：解：（1）由b_n=a_n-n+2得，a_n=b_n+n-2，
∵2a_n+1=a_n+n，
∴2[bn+1+(n+1)-2]=bn+2n-2，即bn+1=

1

2

bn，
∴{b_n}是首項為b1=a1+1=3，公比為

1

2

的等比數列．
故bn=3(

1

2

)n-1
（2）由（1）知，a_n=b_n+n-2，
∴An=Bn+

n(n-3)

2

，
又∵{b_n}是首項為b1=a1+1=3，公比為

1

2

 的等比數列，
∴Bn=

3(1- 1 2n )

1- 1 2

=6(1-

1

2n

)，
∴

An+λBn

n

=

(1+λ)Bn+ n(n-3) 2

n

=

n-3

2

+

6(1+λ)(1- 1 2n )

n

，
故當且僅當λ=-1時，{

An+λBn

n

}為等差數列（12分）

點評：本題是數列的綜合題，涉及了等差數列、等比數列的通項公式，還涉及了求等差（等比）數列的前n項和公式，考查了分析問題和解決問題的能力．