Question

設S_n為數列{a_n}的前n項和，且（n∈N^*），數列{b_n}的通項公式為b_n=4n+3（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若將數列{a_n}與{b_n}的公共項按它們在原來數列中的先后順序排成一個新數列{d_n}，證明數列{d_n}的通項公式為d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設知，a₁=3.，所以（n≥2）．由此能求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）a₁、a₂不是數列{b_n}中的項．a₃=27=4×6+3，d₁=27是數列{b_n}中的第6項，設a_k=3^k是數列{b_n}中的第m項，則3^k=4m+3
（k、m∈N^*）．再證明a_k+1不是數列{b_n}中的項．a_k+2是數列{b_n}中的項．所以d₁=a₃，d₂=a₅，d₃=a₇，…，d_n=a_2n+1，由此求出數列{d_n}的通項公式．
解答：（Ⅰ）解：∵（n∈N^*），
∴，
∴a₁=3．
當n≥2時，，
∴a_n=3a_n-1，即（n≥2）．
∴數列{a_n}是以3首項，公比為3的等比數列，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ（n∈N^*）．（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知a₁、a₂顯然不是數列{b_n}中的項．
∵a₃=27=4×6+3，
∴d₁=27是數列{b_n}中的第6項，
設a_k=3^k是數列{b_n}中的第m項，則3^k=4m+3（k、m∈N^*）．
∵a_k+1=3^k+1=3×3^k=3（4m+3）=4（3m+2）+1，
∴a_k+1不是數列{b_n}中的項．
∵a_k+2=3^k+2=9×3^k=9（4m+3）=4（9m+6）+3，
∴a_k+2是數列{b_n}中的項．
∴d₁=a₃，d₂=a₅，d₃=a₇，…，d_n=a_2n+1，
∴數列{d_n}的通項公式是d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．（14分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意公式的合理運用．