Question

【題目】過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、．

（Ⅰ）當時，求證：⊥；

（Ⅱ）記、、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立．若存在，求值；若不在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）略

（Ⅱ）存在，使得對任意的，都有成立，證明略

【解析】

解：

依題意，可設直線MN的方程為，則有

由消去x可得

從而有①

于是②

又由，可得③

（Ⅰ）如圖1，當時，點即為拋物線的焦點，為其準線

此時①可得

證法1：

證法2：

(Ⅱ)存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：

證法1：記直線與x軸的交點為,則．于是有

將①、②、③代入上式化簡可得

上式恒成立，即對任意成立

證法2：如圖2，連接,則由可得

,

所以直線經過原點O，同理可證直線也經過原點O

又設

則