Question

已知單調遞增的等比數列{a_n}滿足：
a₂＋a₃＋a₄＝28，且a₃＋2是a₂和a₄的等差中項．
(1)求數列{a_n}的通項公式a_n；
(2)令b_n＝a_nloga_n，S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n，求使S_n＋n·2^n＋1>50成立的最小的正整數n.

Answer 1

（1）2ⁿ（2）n＝5.

(1)設{a_n}的公比為q，由已知，得∴ 
即，解得或 (舍去)∴a_n＝a₁q^n－1＝2ⁿ，
(2)b_n＝2ⁿlog2ⁿ＝－n·2ⁿ，
設T_n＝1×2＋2×2²＋3×2³＋…＋n×2ⁿ，①
則2T_n＝1×2²＋2×2³＋…＋(n－1)×2ⁿ＋n×2^n＋1，   ②
①－②得－T_n＝(2＋2²＋…＋2ⁿ)－n×2^n＋1
＝－(n－1)·2^n＋1－2，
∴S_n＝－T_n＝－(n－1)×2^n＋1－2，
由S_n＋n·2^n＋1>50，得
－(n－1)·2^n＋1－2＋n·2^n＋1>50，則2ⁿ>26，
故滿足不等式的最小的正整數n＝5.