Question

【題目】已知點F是拋物線的焦點，若點在拋物線C上，且

（1）求拋物線C的方程；

（2）動直線與拋物線C相交于兩點，問：在x軸上是否存在定點（其中），使得x軸平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）根據焦半徑公式即可求出點的橫坐標，再根據點在拋物線C上，即可解出，進而得出拋物線C的方程；

（2）假設在x軸上假設存在定點，設直線DA、DB的斜率分別為，，根據題意可知，．再聯立直線方程和拋物線方程，由根與系數的關系，得到，，代入，即可判斷是否存在滿足題意的值．

拋物線的焦點為，準線方程為，

即有，即，則，解得，則；

在x軸上假設存在定點（其中），因為x軸平分，

設，，聯立和，得，

恒成立． ，……

設直線DA、DB的斜率分別為，，則由得，

，

∴……

聯立，得，故存在滿足題意．

綜上，在x軸上存在一點，使得x軸平分．