Question

(本題滿分14分) 若F₁、F₂為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在雙曲線左支上，M在右準(zhǔn)線上，且滿足（Ⅰ）求此雙曲線的離心率；（Ⅱ）若此雙曲線過(guò)點(diǎn)，求雙曲線方程；（Ⅲ）設(shè)（Ⅱ）中雙曲線的虛軸端點(diǎn)為B₁，B₂（B₁在y軸正半軸上），求B₂作直線AB與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，求時(shí)，直線AB的方程.

Answer 1

（Ⅰ）   （Ⅱ）    （Ⅲ）

解析:

解：（Ⅰ）由知四邊形PF₁OM為平行四邊形，又由

知為菱形，設(shè)半焦距為c，由，

 

（Ⅱ）雙曲線方程為代入，

有即所求雙曲線方程為 

（Ⅲ）依題意得B₁（0，3），B₂（0，－3）.設(shè)直線AB的方程為

則由∵雙曲線的漸近線為時(shí)，AB與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即 

又

直線AB的方程為