Question

如圖，在三棱錐中，和都是以為斜邊的等腰直角三角形，分別是的中點(diǎn).

（1）證明：平面//平面;
（2）證明：；
（3）若，求三棱錐的體積．

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)試題解析；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)試題解析；（3）.

解析試題分析：（1）要證明平面//平面，就是要在一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線平行另一個(gè)平面，從題目所給出的條件可以容易得到在平面中，,從而得到平面//平面；（2）要證明，可取的中點(diǎn)，連結(jié),由條件得到,由于,所以有；（3）由于，所以求三棱錐的體積可以轉(zhuǎn)化成求和,而和即可整合成,所以求得,可得所求體積為.
試題解析：（1）證明：∵ E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，
∴  
∵
∴
∵  
∴  
（2）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)、，

∵ △和△都是以為斜邊的等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∵
∴
（3）解：在等腰直角三角形中，，是斜邊的中點(diǎn)，
∴
同理. 
∵
∴ △是等邊三角形，
∴  
∵
所以
考點(diǎn)：線面平行；面面平行；線線垂直；線面垂直；棱錐的體積.