Question

（本小題滿分14分）設函數（a、b、c、d∈R）圖象關于原點對稱，且x=1時，取極小值．

       （Ⅰ）求函數的解析式；

       （Ⅱ）若對任意的，恒有成立，求的取值范圍；

       （Ⅲ）當時，函數圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論；

       （IV）設表示的曲線為G，過點作曲線G的切線，求的方程．

Answer 1

（Ⅰ）   （Ⅱ）      （IV）

解析:

（Ⅰ）∵對任意實數，

       ∴，

    即恒成立，，     ，

       時，取極小值，解得，       ∴所求的函數解析式即為；                            ……4分

       （Ⅱ）由已知，，     ∴在區間上的最小值為，

       依題意恒成立，∴，

       解得即為所求的范圍；                                                      …………7分

       （Ⅲ）假設圖象上存在兩點、，使得過此兩點處的切線互相垂直，

       則由知兩點處的切線斜率分別，

       且，、，，矛盾，故假設不成立，

       ∴當時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立；                …………10分

       （IV）設切點為P，切線方程則為，

       且，消去得，

       ∴，∴，，

       即切點為（3，6），∴所求的切線方程為；  …………14分