Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC＝CA＝AA₁＝2，側棱AA₁⊥面ABC，D、E分別是棱A₁B₁、AA₁的中點，點F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角E－BC₁－D的余弦值．

Answer 1

（1）要證明線面平行，則先證明EF∥A₁O，然后利用下面平行的判定定理來得到。
（2）

解析試題分析：（1）證法一：設O為AB的中點，連結A₁O，
∵AF=AB ，O為AB的中點
∴F為AO的中點，又E為AA₁的中點
∴EF∥A₁O
又∵D為A₁B₁的中點，O為AB的中點
∴A₁D=OB 又A₁D∥OB
∴四邊形A₁DBO為平行四邊形
∴A₁O∥BD 又EF∥A₁O  ∴EF∥BD
又EF平面DBC₁， BD平面DBC₁  ∴EF∥平面DBC₁      （6分）
證法二：建立如圖所示的坐標系。（坐標系建立僅為參考）

∵AB=BC=CA=AA₁=2，D、E分別為A₁B₁、AA₁的中點，AF=AB
E（-1，0，1），F，B（1，0，0），D（0，0，2），C₁（0，）
設平面平面DBC₁的法向量為
,,
                
令z=1,則y=0,x=2           
∴    又EF平面BDC₁   ∴EF∥平面BDC₁         （6分）
（2）設面EBC₁的法向量為
，       

令x=1,則z=2，y=-     ∴
cos＜＞=
由圖知二面角E－BC₁－D為銳二面角，所以二面角的余弦值為 （12分）
考點：線面平行，和二面角的平面角
點評：主要是考查了熟練的根據幾何性質來證明平行性質，以及運用空間向量法求解角，屬于中檔題。