Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方體中，M、N、P、Q分別為AD、CD、、 的中點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)P到平面MNQ的距離；

（2）求直線PN與平面MPQ所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

解：方法1（幾何法）：∵平面，∴點(diǎn)P到平面MNQ的距離等于點(diǎn)B到平面MNQ的距離．設(shè)．∵平面MNQ平面ABCD，∴由得平面MNQ，∴點(diǎn)P到平面MNQ的距離為．……………5分

（2）設(shè)點(diǎn)N到平面MNQ的距離為d．可以求得，

∴．．由得

，∴．……………10分

設(shè)直線PN與平面MPQ所成的角為，則．故直線PN與平面MPQ所成的角的正弦值為．……………12分

方法2（空間向量方法）  建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

（1）是平面MNQ的一個(gè)法向量．

∵，

∴點(diǎn)P到平面MNQ的距離．……………5分

（2）設(shè)平面MPQ的一個(gè)法向量為． ．

由得得

．．……………10分

．設(shè)直線PN與平面MPQ所成的角為，則

．……………12分

 

【解析】略