Question

如圖，P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁表面對角線A₁C₁上的一個動點，正方體的棱長為1．
（1）求PA與DB所成角；
（2）求DC到面PAB距離d的取值范圍；
（3）若二面角P-AB-D的平面角為α，二面角P-BC-D的平面角為β，求α+β的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直可知線線垂直，從而可求PA與DB所成角；
（2）由于DC∥面PAB，所以DC到面PAB距離d即為D到面PAB距離，故可求 DC到面PAB距離d的取值范圍；
（3）先作出二面角的平面角，再利用和角三角函數計算即可．

解答：解：（1）連接AC，BD，則BD⊥平面AC
∵PA?平面AC
∴PA⊥BD
∴PA與DB所成角為90°．
（2）由于DC∥面PAB
∴DC到面PAB距離d即為D到面PAB距離．
∵P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁表面對角線A₁C₁上的一個動點
∴D到面PAB距離為 [

3

3

a，a]
（3）過P作PE⊥平面ABCD，過E分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N，連PM，PN，則∠PME=α，∠PNE=β
設ME=x，NE=y，則tanα=

1

x

，tanβ=

1

y

∴tan(α+β)=

x+y

xy-1

當且僅當x=y=

1

2

時，tan(α+β)=-

4

3

此時α+β的最小值為arctan(-

4

3

)

點評：本題以正方體為載體，考查線線角，考查點、先面距離，考查面面角，有一定的綜合性