Question

已知點(diǎn)B′為圓A：（x-1）²+y²=8上任意一點(diǎn)、點(diǎn)B（-1，0）．線段BB′的垂直平分線和線段AB′相交于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）已知點(diǎn)M（x，y）為曲線E上任意一點(diǎn)．求證：點(diǎn)關(guān)于直線xx+2yy=2的對(duì)稱點(diǎn)為定點(diǎn)、并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出A的坐標(biāo)，由題意可知M滿足橢圓的定義，求a、b可得它的方程．
（2）設(shè)出定點(diǎn)利用對(duì)稱知識(shí)，和已知直線垂直，中點(diǎn)在已知直線上，解出定點(diǎn)坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）連接MB，
∴MB=MB'，
故、而AB=2（4分）
∴點(diǎn)M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓．
∴點(diǎn)M的軌跡E的方程為（8分）
（2）證明：設(shè)點(diǎn)
關(guān)于直線xx+2yy=2的對(duì)稱點(diǎn)為Q（a，b）
所以．
即（10分）
∴bx（2-x）=2y（2-x）（a+1）．
∵x≠2
∴bx-2y（a+1）=0（14分）
因?yàn)樯鲜綄?duì)任意x，y成立，
故
所以對(duì)稱點(diǎn)為定點(diǎn)Q（-1，0）．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題，軌跡的求法，是難題．