Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-m|+2x-3．
（1）當(dāng)m=4時(shí)，求函數(shù)y=f（x）（x∈R）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)m=4，并且2≤x≤5時(shí)，t≤f（x）≤2t+8恒成立，求t的范圍
（3）求m的取值范圍，使得函數(shù)y=f（x）在R上恒為增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先去絕對(duì)值得到f（x）=

x2+(2-m)x-3 x≥m -x2+(2+m)x-3 x＜m

，所以將m=4帶入f（x）便得到m=4時(shí)的函數(shù)f（x），根據(jù)二次函數(shù)圖象畫法畫出f（x）的圖象，由圖象即可看出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）畫出的圖象可求得f（x）在[2，5]上的最大值為12，最小值為5，所以由題設(shè)便得到

t≤5 2t+8≥12

，這樣解不等式組即得t的取值范圍；
（3）由f（x）在R上為增函數(shù)知，f（x）在每段上都是增函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得在每段上限制m的不等式，解不等式并求交集即得m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

x2+(2-m)x-3 x≥m -x2+(2+m)x-3 x＜m

；
∴m=4時(shí)，f(x)=

x2-2x-3=(x-1)2-4 x≥4 -x2+6x-3=-(x-3)2+6 x＜4

；
畫出f（x）的圖象如下：
∴由圖象可看出，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，3]，[4，+∞），遞減區(qū)間為（3，4）；
（2）由圖象可以看出x∈[2，5]時(shí)，f（x）∈[5，12]；
∴由t≤f（x）≤2t+8在x∈[2，5]上恒成立得，

t≤5 2t+8≥12

，解得2≤t≤5；
∴t的范圍為[2，5]；
（3）由題設(shè)知，x≥m時(shí)，函數(shù)x²+（2-m）x-3在[m，+∞）上單調(diào)遞增；
∴-

2-m

2

≤m，解得m≥-2；
x＜m時(shí)，函數(shù)-x²+（2+m）x-3在（-∞，m）上單調(diào)遞增；
∴m≤

2+m

2

，解得m≤2；
∴-2≤m≤2；
∴m的取值范圍為[-2，2]．

點(diǎn)評(píng)：考查含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值，二次函數(shù)圖象的畫法，分段函數(shù)圖象的畫法，以及根據(jù)圖象求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，根據(jù)圖象求函數(shù)的最值，以及分段函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性．