Question

甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關游戲，按照規則，甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨立作答，然后由乙回答剩余3題，每人答對其中2題就停止答題，即闖關成功．已知在6道被選題中，甲能答對其中的4道題，乙答對每道題的概率都是

2

3

．
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闖關成功的概率；
（Ⅱ）設甲答對題目的個數為X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

（Ⅰ）設甲、乙闖關成功分別為事件A、B，
則P(

.

A

)=

C 14 • C 22

C 36

=

4

20

=

1

5

，
P(

.

B

)=(1-

2

3

)3+

C

23

2

3

(1-

2

3

)2=

1

27

+

2

9

=

7

27

，
則甲、乙至少有一人闖關成功的概率是1-P(

.

A

•

.

B

)=1-P(

.

A

)•P(

.

B

)=1-

1

5

×

7

27

=

128

135

．

（Ⅱ）因為甲能答對4道題，所以無論怎么選3道題甲至少答對1道題．
所以ξ=1，2，3
P（ξ=1）=（2C2*4C1）/6C3=4/20
P（ξ=2）=（2C1*4C2）/6C3=12/20
P（ξ=3）=（2C0*4C3）/6C3=4/20
由題知X的可能取值是1，2．
P(X=1)=

C 14 C 22

C 36

=

1

5

，P(X=2)=

C 24 C 12 + C 34

C 36

=

4

5

，
則X的分布列為

X	1	2
P	1 5	4 5

∴EX=1×

1

5

+2×

4

5

=

9

5

．