Question

如圖，斜率為1的直線過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，與拋物線交于兩點A、B，將直線AB按向量

a

=(-p，0)平移得到直線l，N為l上的動點，M為拋物線弧AB上的動點．
（Ⅰ） 若|AB|=8，求拋物線方程．
（Ⅱ）求S_△ABM的最大值．
（Ⅲ）求

NA

•

NB

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用韋達定理及拋物線的定義，計算弦長，即可求得拋物線的標準方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|AB|=4p，故求S_△ABM的最大值，即求M到AB距離的最大值；
（Ⅲ）利用向量的數量積公式，結合配方法，即可求

NA

•

NB

的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由條件知lAB：y=x-

p

2

，則

y=x- p 2 y2=2px

，消去x得：x2-3px+

1

4

p2=0①，則x₁+x₂=3p，
由拋物線定義|AB|=x₁+x₂+p=4p，
又因為|AB|=8，即p=2，則拋物線方程為y²=4x．---------------------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|AB|=4p和lAB：y=x-

p

2

，設M(

y 2 0

2p

，y0)，
則M到AB距離：d=

|- 1 2p y 2 0 +y0+ p 2 |

2

，因M，O在直線AB的同側，所以-

1

2p

y

2 0

+y0+

p

2

＞0，
則d=

2

2

(-

1

2p

y

2 0

+y0+

p

2

)，即d=

2

2

[-

1

2p

(y0-p)2+p]，
由①知A(

3-2 2

2

p，(1-

2

)p)，B(

3+2 2

2

p，(1+

2

)p)
所以(1-

2

)p＜y0＜(1+

2

)p，則當y₀=p時，dmax=

2

2

p，
則(S△ABM)max=

1

2

•4p•

2

2

p=

2

p2．---------------------------------------（8分）
（Ⅲ）設N(x0，x0+

p

2

)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

NA

=(x1-x0，y1-x0-

p

2

)，

NB

=(x2-x0，y2-x0-

p

2

)，
即

NA

•

NB

=x1x2-x0(x1+x2)+

x

2 0

+y1y2-(x0+

p

2

)(y1+y2)+(x0+

p

2

)2
由①知x₁+x₂=3p，x1x2=

1

4

p2，y1y2=-p2，y₁+y₂=2p，則

NA

•

NB

=2

x

2 0

-4px0-

3

2

p2，
即

NA

•

NB

=2(x0-p)2-

7

2

p2，當x₀=p時，

NA

•

NB

的最小值為-

7

2

p2．
（其它方法酌情給分）---------------------------------------------------（12分）

點評：本題考查拋物線的弦長計算，考查三角形面積，考查向量知識，解題的關鍵是正確運用拋物線的定義，屬于中檔題．