Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1） 判斷并證明f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)x＞－1時， ；

（3）設(shè)當(dāng)x≥0時， ，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)增；(2)見解析； (3) .

【解析】試題分析：(1) 求出， 得增區(qū)間， 得減區(qū)間；（2）將函數(shù)的解析式代入整理成，組成新函數(shù)，然后根據(jù)其導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性進而可求函數(shù)的最小值，進而可得證；（3）先確定函數(shù)的取值范圍，然后對分和兩種情況進行討論，當(dāng)時根據(jù)的范圍可直接得到不成立；當(dāng)時，令，然后對函數(shù)進行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性并求出最值，求的范圍.

試題解析：(1) 在定義域內(nèi)增

（2）當(dāng) 時， 當(dāng)且僅當(dāng)．

令 ，則.

當(dāng) 時 ，g(x)在 是減函數(shù)；當(dāng) 時 ，g(x)在 是增函數(shù)．

于是函數(shù)g(x)在 處達到最小值，因而當(dāng) 時， ，即 ．

所以當(dāng) 時， ．

（3）由題意 ，此時 ，

當(dāng) 時，若，則 ， 不成立；

當(dāng) 時，令，則當(dāng)且僅當(dāng)．

．

由（1）知，即 ，

．

（ⅰ）當(dāng)時， ，h(x)在 是減函數(shù)， ，即．

（ⅱ）當(dāng)時，由（ⅰ）知，即 ，

，

當(dāng)時， ，所以 ，即．

綜上，a的取值范圍是 ．