Question

在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于F，將△ABD沿BD折起，二面角A-BD-C大小記為θ.
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面BCD； 
（Ⅱ）θ為何值時(shí)，AB⊥CD. 

Answer 1

見(jiàn)解析

（Ⅰ）證明：在Rt△ABC中，∠C=30°，D為AC的中點(diǎn)，則△ABD是等邊三角形
又E是BD的中點(diǎn)，∵BD⊥AE，BD⊥EF，折起后，AE∩EF=E，∴BD⊥面AEF
∵BD面BCD，∴面AEF⊥面BCD    
（Ⅱ）解：過(guò)A作AP⊥面BCD于P，則P在FE的延長(zhǎng)線上，設(shè)BP與CD相交于Q，
令AB=1，則△ABD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，若AB⊥CD，則BQ⊥CD

由于∠AEF=θ就是二面角A-BD-C的平面角，