Question

已知數列a_n滿足遞推關系式：2a_n+1=1-a_n²（n≥1，n∈N），且0＜a₁＜1．
（1）求a₃的取值范圍；
（2）用數學歸納法證明：|an-(

2

-1)|＜

1

2n

（n≥3，n∈N）；
（3）若bn=

1

an

，求證：|bn-(

2

+1)|＜

12

2n

（n≥3，n∈N）．

Answer 1

分析：（1）由題設知a2=

1

2

(1-a21)，且a₁∈（0，1），由二次函數性質可知a₂∈（0，

1

2

）．由此能求出a₃的取值范圍；（2）用數學歸納法進行證明，證明過程中要注意合理地進行等價轉化．
（3）由|an-(

2

-1)|＜

1

2n

(n≥3)變形為：|

1

2 -1

-

1

an

|＜

1

2n

•

1

( 2 -1)|an|

=

2 +1

2n

•

1

|an|

，由此入手能夠得到證明．

解答：解：（1）∵a2=

1

2

(1-a21)，且a₁∈（0，1），由二次函數性質可知a₂∈（0，

1

2

）．
∵a3=

1

2

(1-

a

2 2

)及a2∈(0，

1

2

)∴a3∈(

3

8

，

1

2

)．(3分)
（2）證明：①在（1）的過程中可知n=3時，

3

8

＜a3＜

1

2

，
則-

1

8

＜

3

8

-(

2

-1)＜a3-(

2

-1)＜

1

2

-(

2

-1)＜

1

8

，
于是當n=3時，|an-(

2

-1)|＜

1

2n

成立．
②假設在n=k（k≥3）時，|an-(

2

-1)|＜

1

2n

（*）成立，即|ak-(

2

-1)|＜

1

2k

．
則當n=k+1時，|ak+1-(

2

-2)|=|

1

2

-

1

2

a

2 k

-(

2

-1)|=

1

2

|ak-(

2

-1)|•|ak+

2

-1|，
其中0＜ak+

2

-1＜2(

2

-1)+

1

2k

＜1(k≥3)
于是|ak+1-(

2

-1)|＜

1

2

|ak-(

2

-1)|＜

1

2k+1

，
從而n=k+1時（*）式得證．
綜合①②可知：n≥3，n∈{N}時|an-(

2

-1)|＜

1

2n

．

（3）由|an-(

2

-1)|＜

1

2n

(n≥3)變形為：|

1

2 -1

-

1

an

|＜

1

2n

•

1

( 2 -1)|an|

=

2 +1

2n

•

1

|an|

，
而由

2

-1-

1

2n

＜an＜

2

-1+

1

2n

（n≥3，n∈N）
可知：

2

-1-

1

8

＜an＜

2

+1+

1

8

在n≥3上恒成立，
于是

1

an

＜

1

2 -1- 1 8

，

2 +1

an

＜

2 +1

2 -1- 1 8

＜12，
又∵|an-(

2

-1)|＜

1

2n

，∴|

1

an

-(

2

+1)|＜

12

2n

，
從而原不等式|bn-(

2

+1)|＜

12

2n

（n≥3，n∈N）得證．（14分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，挖掘題設中的隱含條件，注意數學歸納法的解題過程．