Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，E為AC與BD的交點，PA⊥平面ABCD，M為PA中點，N為BC中點．
（1）證明：直線MN∥平面PCD；
（2）若點Q為PC中點，∠BAD=120°，PA= ，AB=1，求三棱錐A﹣QCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：取PD中點R，連結MR，CR，

∵M是PA的中點，R是PD的中點，

∴MR= AD，MR∥AD，

∵四邊形ABCD是菱形，N為BC的中點，

∴NC= ，NC∥AD．

∴NC∥MR，NC=MR，

∴四邊形MNCR為平行四邊形，

∴MN∥CR，又CR平面PCD，MN平面PCD，

∴MN∥平面PCD．

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，

∴AC=AD=CD=1，∴ ．

∵Q是PC的中點，∴Q到平面ABCD的距離h= PA= ．

∴ ．

【解析】（1）取PD中點R，連結MR，CR，通過證明四邊形MNCR是平行四邊形得出MN∥CR，于是MN∥平面PCD；（2）棱錐Q﹣ACD的底面△ACD為等邊三角形，高為PA的 ，代入體積公式計算即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．