Question

已知函數(shù)f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，-1）上是增函數(shù)，在（-∞，-2）上為減函數(shù)．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若當(dāng)x∈[

1

e

-1，e-1]時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)b使得關(guān)于x的方程f（x）=x²+x+b在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，若存在，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)得f'（x）=2•

x2+2x+1-a

1+x

，由題意得f（-2）為函數(shù)的極大值，得f'（-2）=0，建立關(guān)于a的方程，解之即可得到f（x）的表達(dá)式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）在[

1

e

-1，0)上為減函數(shù)且在（0，e-1]上為增函數(shù)，得到f（x）的最大值為f(

1

e

-1)與f（e-1）中較大的那個(gè)，算出f（x）的最大值為f（e-1）=e²-2，即可得到滿足條件的m的取值范圍；
（3）f（x）=x²+x+b，變形得x-b+1-ln（1+x）²=0，設(shè)相應(yīng)的函數(shù)為g（x），利用導(dǎo)數(shù)研究出g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減且在[1，2]上單調(diào)遞增，可得當(dāng)g（1）＜0、g（0）≥0且g（2）≥0時(shí)方程f（x）=x²+x+b在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，由此建立關(guān)于b的不等式即可得出實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²，
∴求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=2（1+x）-

2a

1+x

=2•

x2+2x+1-a

1+x

∵f（x）在（-2，-1）上是增函數(shù)，在（-∞，-2）上為減函數(shù)
∴f（-2）為函數(shù)的極大值，可得f'（-2）=2•

(-2)2+2×(-2)+1-a

1-2

=0，解之得a=1
因此，f（x）的表達(dá)式為f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²；
（2）由于f'（x）=2•

x2+2x

1+x

=

2x(x+2)

x+1

∴f'（x）=0的零點(diǎn)為x₁=-2，x₂=0
在區(qū)間[

1

e

-1，0)上f'（x）＜0，在區(qū)間（0，e-1]上f'（x）＞0
∴f（x）在區(qū)間[

1

e

-1，0)上為減函數(shù)，在區(qū)間（0，e-1]上為增函數(shù)
可得x∈[

1

e

-1，e-1]時(shí)，f（x）的最大值為f(

1

e

-1)與f（e-1）中較大的那個(gè)
∵f(

1

e

-1)=

1

e 2

+2，f（e-1）=e²-2＞

1

e 2

+2，
∴x∈[

1

e

-1，e-1]時(shí)，f（x）的最大值為f（e-1）=e²-2
因此不等式f（x）＜m恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)m的范圍為（e²-2，+∞）．
（3）若存在實(shí)數(shù)b使得條件成立，
方程f（x）=x²+x+b，即x-b+1-ln（1+x）²=0，
令g（x）=x-b+1-ln（1+x）²，則g'（x）=1-

2

x+1

=

x-1

x+1

，
令g'（x）＞0，得x＜-1或x＞1；令g'（x）＜0，得-1＜x＜1，
∴g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
要使方程f（x）=x²+x+b在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，
只需g（x）=0在區(qū)間[0，1]和[1，2]上各有一個(gè)實(shí)根，于是有

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，解得2-2ln2＜b≤3-2ln3，
故存在這樣的實(shí)數(shù)b，當(dāng)2-2ln2＜b≤3-2ln3時(shí)滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有對(duì)數(shù)的基本初等函數(shù)，求函數(shù)的解析式并由此討論方程根的分布．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值與最值求法和不等式恒成立的處理等知識(shí)，屬于中檔題．