Question

已知函數f（x）=x²+ax+b（其中a，b∈R），
（1）若當x∈[-1，1]，f（x）≤0恒成立，求

b-5

a-2

的取值范圍；
（2）若a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，求f（x）無零點的概率；
（3）若對于任意的正整數k，當x=

55…5

k個5

時，都有f(x)=

55…5

2k個5

成立，則稱這樣f（x）是K₂函數，現有函數g(x)=

14

5

x2+(a+2)x+b-f(x)，試判斷g（x）是不是K₂函數？并給予證明．?

Answer 1

分析：（1）據f（x）≤0恒成立，由有

f(-1)≤0 f(1)≤0

得到

a-b+1≤0 a+b+1≤0

，再觀察

b-5

a-2

的結構形式，可用線性規劃解決；
（2）據a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，可知這是一個幾何概型中的面積類型，總面積是直線a=±1，b=±1圍成的區域面積，當f（x）有零點時，則判斷式大于零，得到a²≥4b，滿足條件為

-1≤a≤1 -1≤b≤1 a2≥4b

，可用定積分求得有零點時的面積，從而求得有零  點時的概率，再用對立事件求得無零點時的概率；
（3）g（x）是K₂函數，按照定義證明即可．

解答：解：（1）據題意：

f(-1)≤0 f(1)≤0

∴

a-b+1≤0 a+b+1≤0

可行域如圖

b-5

a-2

的幾何意義是定點P（2，5）到區域內的點Q（a，b）連線的斜率k，

b-5

a-2

的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）當f（x）有零點時，a²≥4b，滿足條件為

-1≤a≤1 -1≤b≤1 a2≥4b

由拋物線的下方與a=±1，b=-1圍成的區域面積，S1=

∫

1 -1

(

1

4

a2+1)da=(

1

12

a3+a)

|

1 -1

=

13

6

，
由直線a=±1，b=±1圍成的區域面積S₂=4，
故f（x）有零點的概率P=

S1

S2

=

13

24

，∴f（x）無零點的概率為

.

P

=1-P=

11

24

；
（3）g（x）是K₂函數，
證明：g(x)=

9

5

x2+2x符合條件，
因為

555

k個5

=5(1+10+100++10k-1)=

5

9

(10k-1)，
同理：

555

2k個5

=

5

9

(102k-1)；g(

555

k個5

)=g(

5

9

(10k-1))=

9

5

[

5

9

(10k-1)]2+2×

5

9

(10k-1)
=

5

9

(10k-1)2+2×

5

9

(10k-1)=

5

9

(10k-1)(10k+1)=

5

9

(102k-1)=

555

2k個5

，
所以，g(x)=

9

5

x2+2x符合條件．

點評：本題主要考查線性規劃，（1）關鍵是確定約束條件和目標函數類型；（2）是結合概率來考查所圍成的平面圖形的面積；（3）是情境題，這樣題的解決要嚴格執行給定的定義，結合已有的知識解決．