Question

（2012•海淀區二模）曲線C是平面內到定點A（1，0）的距離與到定直線x=-1的距離之和為3的動點P的軌跡．則曲線C與y軸交點的坐標是

(0，±

3

)

；又已知點B（a，1）（a為常數），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=

a2-2a+2 ，a≤-1.4或a≥1 a+4，-1.4＜a≤-1 2-a，-1＜a＜1.

．

Answer 1

分析：（1）設動點P（x，y），由題意可得

(x-1)2+y2

+|x+1|=3．對x分類討論：①當x＜-4時，由|x+1|＞3，無軌跡；②當-4≤x≤-1時，化為

(x-1)2+y2

=x+4，化為y2=10x+15(-1≥x≥-

3

2

)，與y軸無交點；③當x＞-1時，化為

(x-1)2+y2

=2-x，化為y²=-2x+3，(-1＜x≤

3

2

)，令x=0即可得出y．
（2）利用（1）畫出圖象，分類討論求出即可．

解答：解：（1）設動點P（x，y），由題意可得

(x-1)2+y2

+|x+1|=3，
①當x＜-4時，∵|x+1|＞3，無軌跡；
②當-4≤x≤-1時，化為

(x-1)2+y2

=x+4，化為y2=10x+15(-1≥x≥-

3

2

)，與y軸無交點；
③當x＞-1時，化為

(x-1)2+y2

=2-x，化為y²=-2x+3，(-1＜x≤

3

2

)．
令x=0，解得y=±

3

．
綜上①②③可知：曲線C與y軸的交點為(0，±

3

)；
（2）由（1）可知：y2=

10x+15，(- 3 2 ≤x≤-1) -2x+3，(-1＜x≤ 3 2 )

．
如圖所示，令y=1，則10x+15=1，或-2x+3=1，
解得x=-1.4或1．
①當a≤-1.4或a≥1時，|PA|+|PB|≥|AB|，∴d（a）=|AB|=

(a-1)2+1

=

a2-2a+2

；
②當-1＜a＜1時，當直線y=1與y2=-2x+3(-1＜x≤

3

2

)相交時的交點P滿足|PA|+|PB|取得最小值，
∵此拋物線的準線為x=2，∴直線y=1與準線的交點Q（2，1），此時d（a）=|QB|=2-a；
③當-1.4＜a≤-1時，當直線y=1與y2=10x+15(-

3

2

≤x≤-1)相交時的交點P滿足|PA|+|PB取得最小值，
∵此拋物線的準線為x=-4，∴直線y=1與準線的交點Q（-4，1），此時d（a）=|QB|=a+4．
綜上可知：d（a）=

a2-2a+2 ，a≤-1.4或a≥1 a+4，-1.4＜a≤-1 2-a，-1＜a＜1.

點評：本題綜合考查了拋物線的定義、方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、兩點間的距離公式等基礎知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力．