Question

【題目】已知是數列的前n項和，，且．

（1）求數列的通項公式；

（2）對于正整數，已知成等差數列，求正整數的值；

（3）設數列前n項和是，且滿足：對任意的正整數n，都有等式成立.求滿足等式的所有正整數n.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）1和3.

【解析】試題分析：（1）先根據和項與通項關系得項之間遞推關系，再根據等比數列定義判斷，最后根據等比數列通項公式求結果，（2）根據等差數列化簡得，再根據正整數限制條件以及指數性質確定不定方程正整數解，（3）先根據定義求數列通項公式，再根據等差數列求和公式求，根據數列相鄰項關系確定遞減，最后根據單調性求正整數解.

試題解析：（1）由 得，兩式作差得，即 .

，，所以 ，，則 ，所以數列是首項為公比為的等比數列，所以 ；

（2）由題意，即，

所以，其中，，

所以，，

，所以，，；

（3）由 得，

，

，

，

所以 ，即，

所以 ，

又因為，得，所以 ，

從而 ，，

當時；當時；當時；

下面證明：對任意正整數都有，

，

當時， ，即，

所以當時，遞減，所以對任意正整數都有；

綜上可得，滿足等式的正整數的值為和.