Question

已知等差數列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0，且第二項、第五項、第十四項分別是一個等比數列的第二項、第三項、第四項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

n(an+3)

(n∈N*)，Sn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整數t，使得對任意的n均有S_n＞

t

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總成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）依已知可先求首項和公差，進而求出通項a_n和b_n，在求首項和公差時，主要根據先表示出等差數列的三項，根據這三項是等比數列的三項，且三項成等比數列，用等比中項的關系寫出算式，解出結果．
（2）由題先求出{b_n}的通項公式后再將其裂成兩項的差，利用裂項相消的方法求出和S_n，利用遞增數列的定義判斷出
數列{S_n}是單調遞增的，求出其最小值得到t的范圍．

解答：解：（1）由題意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，…（2分）
整理得2a₁d=d²．
∵a₁=1，解得（d=0舍），d=2．…（4分）
∴a_n=2n-1（n∈N^*）．…（6分）
（2）bn=

1

n(an+3)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

2

(1-

1

n+1

)=

n

2(n+1)

．…（10分）
假設存在整數t滿足Sn＞

t

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總成立．
又Sn+1-Sn=

n+1

2(n+2)

-

n

2(n+1)

=

1

2(n+2)(n+1)

＞0，
∴數列{S_n}是單調遞增的． …（12分）
∴S1=

1

4

為Sn的最小值，故

t

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＜

1

4

，即t＜9．
又∵t∈N^*，
∴適合條件的t的最大值為8．…（14分）

點評：本題主要考查了數列的基本知識和解決數列問題的基本方法，如基本量法，錯位相減求和法等．本題是一個綜合題，若在高考題中出現時，應該是一個合格的題目