Question

下列四個命題：①在區(qū)間[0，1]內(nèi)任取兩個實數(shù)x，y，則事件“x²+y²＞1恒成立”的概率是1-

π

4

； ②從200個元素中抽取20個樣本，若采用系統(tǒng)抽樣的方法則應(yīng)分為10組，每組抽取2個； ③函數(shù)f（x）關(guān)于（3，0）點對稱，滿足f（6+x）=f（6-x），且當(dāng)x∈[0，3]時函數(shù)為增函數(shù)，則f（x）在[6，9]上為減函數(shù)； ④滿足A=30°，BC=1，AB=

3

的△ABC有兩解．其中正確命題的個數(shù)為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：①本題是一個幾何概型，試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的集合是Ω={（x，y）|-1＜x＜1，-1＜y＜1}，滿足條件的事件對應(yīng)的集合是A={（x，y）|-1＜x＜1，-1＜y＜1，x²+y²＞1}，做出兩個集合對應(yīng)的圖形的面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果．②根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義，可知此命題是假命題；③根據(jù)函數(shù)f（x）關(guān)于（3，0）點對稱，且當(dāng)x∈[0，3]時函數(shù)為增函數(shù)，以及中心對稱圖象的單調(diào)性的性質(zhì)可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，6）是增函數(shù)，由f（6+x）=f（6-x），可知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=6對稱，根據(jù)軸對稱圖形的單調(diào)性的特征可知結(jié)論；④利用余弦定理解方程

3+AC2-1

2× 3 ×AC

=

3

2

，即可求得結(jié)果．

解答：解：①由題意知本題是一個幾何概型，
試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的集合是Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，
它的面積是1×1=1，
滿足條件的事件對應(yīng)的集合是A={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x²+y²＞1}
集合A對應(yīng)的圖形的面積是邊長為1的正方形內(nèi)部，且圓的外部，面積是1-

π

4

∴根據(jù)幾何概型的概率公式得到P=1-

π

4

，故正確；
②從200個元素中抽取20個樣本，間隔為10，而不是分成10組，故錯；
③∵函數(shù)f（x）關(guān)于（3，0）點對稱，且當(dāng)x∈[0，3]時函數(shù)為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，6）是增函數(shù)，
∵f（6+x）=f（6-x），
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=6對稱，
故f（x）在[6，9]上為減函數(shù)；該命題正確；
④由余弦定理可知cosA=

3+AC2-1

2× 3 ×AC

=

3

2

，
整理得AC²-3AC+2=0，求得AC=1或2，因此△ABC有兩解，故正確，
故選C．

點評：此種題型往往比較綜合考查多個知識點的概念，處理的關(guān)鍵是熟練掌握各個知識點的概念、定義．同時考查了學(xué)生的思維轉(zhuǎn)換和運算能力，屬中檔題．