Question

(本小題滿分12分)   

如圖，已知，分別是正方形邊、的中點，與交于點，、都垂直于平面，且， ，是線段上一動點．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）試確定點的位置，使得平面；

（Ⅲ）當是中點時，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】(I)可以先證明平面,再證明即可.

(II)連接CM，若平面，平面平面，∴，從而可根據平行線分線段成比例定理，可確定點M的位置.

(III)不難找出二面角的平面角為，然后解三角形MON求角即可.

（Ⅰ）連結，∵平面，平面，∴，

又∵，，

∴平面，

又∵，分別是、的中點，∴，

∴平面，又平面，

∴平面平面；---------------------------------------4分

（Ⅱ）連結，

∵平面，平面平面，∴，

∴，故  ----------------------------6分

（Ⅲ）∵平面，平面，∴，

在等腰三角形中，點為的中點，∴，

∴為所求二面角的平面角， ---------------------------------8分

∵點是的中點，∴，

所以在矩形中，可求得，，，----------10分

在中，由余弦定理可求得，

∴二面角的余弦值為． ------------------------------12分