Question

(本小題14分) 如圖，在平面直角坐標系xoy中，設點F(0, p)(p>0), 直線l : y= －p, 點P在直線l上移動，R是線段PF與x軸的交點, 過R、P分別作直線、，使， .
(1)求動點Q的軌跡C的方程；
(2)在直線l上任取一點M做曲線C的兩條切線，設切點為A、B，求證：直線AB恒過一定點；
(3)對(2)求證：當直線MA, MF, MB的斜率存在時，直線MA, MF, MB的斜率的倒數成等差數列.

Answer 1

(1)．（2）直線恒過定點. (3) 證明：見解析。

解析試題分析：（Ⅰ）先判斷RQ是線段FP的垂直平分線，從而可得動點Q的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線；
（Ⅱ）設M（m，-p），兩切點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出切線方程，從而可得x₁，x₂為方程x²-2mx-4p²=0的兩根，進一步可得直線AB的方程，即可得到直線恒過定點（0，p）；
（Ⅲ） 由（Ⅱ）的結論，設M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且有x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²，從而可得k_MA，k_MB由此可證直線MA，MF，MB的斜率的倒數成等差數列．
解：(1)依題意知，點是線段的中點，且⊥，
∴是線段的垂直平分線． ∴．
故動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，
其方程為：．
（2）設，兩切點為， 
∴兩條切線方程為xx=2p(y+y)    ① 
xx=2p(y+y)    ② 
對于方程①，代入點, 又, 整理得：, 同理對方程②有, 即為方程的兩根.
∴  ③
設直線的斜率為，
所以直線的方程為，展開得：，代入③得：,  ∴直線恒過定點.
(3) 證明：由（2）的結論，設， ， 
且有，
∴ 
∴
=
又∵，所以
即直線的斜率倒數成等差數列.
考點：本題主要考查了拋物線的定義，考查直線恒過定點，考查直線的向量。屬于中檔題
點評：解決該試題的關鍵是正確運用韋達定理，以及拋物線中x,y關系式的轉化與化簡是解決試題的又一個難點。