Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M，N分別為AB，SB的中點．
（Ⅰ）求異面直線AC與SB所成角；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；
（Ⅲ）求點B到平面CMN的距離．

Answer 1

分析：（I）取AC 中點D，連接SD，DB由已知中SA=SC，△ABC是邊長為4的正三角形，可由等腰三角形三線合一的性質，我們可得AC⊥SD且AC⊥BD，由線面垂直的性質可得AC⊥平面SDB，由線面垂直的性質可得AC⊥SB，即異面直線AC與SB所成角為90°
（II）由（I）的結論AC⊥平面SDB，由面面垂直的判定定理可得平面SDC⊥平面ABC，過N作NE⊥BD于E，過E作EF⊥CM于F，連接NF，則∠NFE為二面角N-CM-B的平面角，解△ABC，Rt△NEF即可得到二面角N-CM-B的大小．
（III）點B到平面CMN的距離為h，由V_B-CMN=V_N-CMB，我們求出S_△CMN，S_△CMB，及NE的長，代入即可得到點B到平面CMN的距離．

解答：解：（I）取AC 中點D，連接SD，DB．
因為SA=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD，所以AC⊥平面SDB．
又SB?平面SDB，所以AC⊥SB．
所以異面直線AC與SB所成角為90°．…（4分）
（II）因為AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC．
過N作NE⊥BD于E，則NE⊥平面ABC，
過E作EF⊥CM于F，連接NF，則NF⊥CM，
所以∠NFE為二面角N-CM-B的平面角．
因為平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC．
又因為NE⊥平面ABC，所以NE∥SD．
由于SN=NB，所以NE=

1

2

SD=

1

2

SA2-AD2

=

2

，且ED=EB．
在正△ABC中，由平面幾何知識可求得EF=

1

4

MB=

1

2

．
在Rt△NEF中，tan∠NFE=

EN

EF

=2

2

所以二面角N-CM-B的大小是arctan2

2

．     …（8分）
（III）在Rt△NEF中，NF=

EF2+EN2

=

3

2

，
所以S_△CMN=

1

2

CM•NF=

3

2

3

，S_△CMB=

1

2

CM•BM=2

3

．
設點B到平面CMN的距離為h，
因為V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，
所以

1

3

S_△CMN•h=

1

3

S_△CMB•NE  則h=

4 2

3

即點B到平面CMN的距離為

4 2

3

．             …（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，異面直線及其所成的角，點到平面的距離，其中（I）的關鍵是證明AC⊥平面SDB，進而由線面平行的性質得到異面直線AC與SB的關系，（II）的關系是證明得∠NFE為二面角N-CM-B的平面角，（III）中所使用的等體積法，是求點到平面距離最常用的方法之一．