Question

已知a為常數，函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），則下列結論中正確的是

①②③

（把你認為真命題的序號都寫上）
①0＜a＜

1

2

；  ②0＜x₁＜1＜x₂；   ③f（x₁）＜0；   ④f(x2)＜-

1

2

．

Answer 1

分析：依題意，f′（x）=lnx-2ax+1=0在（0，+∞）上有二異根，即y=lnx與y=2ax-1在（0，+∞）上有兩個交點，作圖后對①②③④四個選項逐一分析即可確定答案．

解答：解：∵函數f（x）=x（lnx-ax），
∴f′（x）=lnx-ax+x（

1

x

-a）=lnx-2ax+1，
∵f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴f′（x）=lnx-2ax+1=0在（0，+∞）上有二異根，
∴y=lnx與y=2ax-1在（0，+∞）上有兩個交點．
在同一直角坐標系中，作出y=lnx與y=2ax-1的圖象：

設y=lnx與y=2ax-1相切于（x₀，y₀），由于y=2ax-1過定點P（0，-1），
∴直線y=2ax-1的斜率k=（lnx）′|x=x0=

1

x0

=

y0-(-1)

x0-0

=2a，
∴y₀+1=1，y₀=0，又y₀=lnx₀=0，
∴x₀=1，即y=lnx與y=2ax-1相切于（1，0），
∴2a=

1

x0

=1，
∴a=

1

2

．
當0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

時，y=lnx與y=2ax-1在（0，+∞）上有兩個交點，f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，故①正確；
由圖可知，0＜x₁＜1＜x₂即②正確；
對于③，∵0＜x₁＜1，
∴lnx₁＜0，又0＜a＜

1

2

，故-ax₁＜0，
∴f（x₁）=x₁（lnx₁-ax₁）＜0，即③正確．
由于x₂是極值點，故lnx₂=2ax₂-1，
∴f（x₂）=x₂（lnx₂-ax₂）=x₂（ax₂-1）=ax22-x₂=a(x2-

1

2a

)2-

1

4a

，
∵0＜a＜

1

2

，
∴

1

a

＞2，

1

4a

＞

1

2

，-

1

4a

＜-

1

2

，a(x2-

1

2a

)2≥0，
∴f（x₂）＜a(x2-

1

2a

)2-

1

2

，故④錯誤．
綜上所述，正確的是①②③
故答案為：①②③．

點評：本題考查導數的綜合應用，著重考查數形結合思想與等價轉化思想、抽象思維與邏輯思維的綜合應用，屬于難題．