Question

(本小題滿分12分）

已知函數，

(I )要使在（0, 1)上單調遞增，求a的取值范圍；

(II) 當a〉0時，若函數的最小值和最大值分別為1、，試求函數的解析式_；

III 若時，圖像上任意一點處的切線傾斜角為，當.時,求a的取值范圍

Answer 1

【解】（Ⅰ）f’(x)=-3x²+2ax，……………1分

要使f(x)在(0，1)上單調遞增，則x∈(0，1)時，f’(x)≥0恒成立

∴-3x²+2ax≥0，即當x∈(0，1)時，a≥恒成立  　　　　………….2分

∴a≥，即a的取值范圍是 　　　　　　　　………………3分

（Ⅱ）由f’(x)= -3x²+2ax，令f’(x)=0，得x=0，或x=a

∵a＞0，∴當x變化時，f’(x) f(x)的變化情況如下表：

x	(-∞，0)	0	(0，)	a	(∞)
f’(x)	-	0	+	0	-
f(x)	↘	y極小	↗	y極大	↘

∴y_極小=f(0)=b=1，y_極大=f(a)= -a³+a·a²+1=  　　　　……………….5分

∴b=1，a=1  故f(x)=-x³+x²+1  　　　　　　　　　　　　 ……………………6分

（Ⅲ）當x∈時，tanθ=f’(x)= -3x²+2ax  　　　　　　　　　　……………7分

由θ∈，得0≤f’(x)≤1，即x∈時，0≤-3x²+2ax≤1恒成立……….9分

當時，∈R  當x∈(0，1]時，由-3x²+2ax≥0恒成立，由(Ⅰ)知≥  ………10分

由-3x²+2ax≤1恒成立，a≤(3x+)，∴≤(等號在=時取得)

綜上，≤a≤                          ……….12分