Question

已知橢圓的離心率為，長軸長為，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)A、B.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的值（O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（3）若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為，求面積的最大值.

Answer 1

（1）    （2）    
（3）
當(dāng)|AB最大時(shí)，的面積最大值  

（1）依題意得，所以.橢圓方程為
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，保證，求出，利用，可得
（3）由原點(diǎn)O到直線的距離為得.直線方程與橢圓方程聯(lián)立，保證，求出，利用，可得
利用不等式求出最值.注意的討論.
解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意 解得
由 2分
所求橢圓方程為  3分
（2）  設(shè)，其坐標(biāo)滿足方程
消去并整理得   4分
則有，      6分
       
  8分
（3）由已知，可得    9分
將代入橢圓方程，
整理得

 10分

 11分
   12分
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足（*）式
當(dāng)時(shí)，
綜上可知               13分
當(dāng)|AB最大時(shí)，的面積最大值   14分