Question

如圖，已知△OFQ的面積為S，且．
（Ⅰ）若，求的范圍；
（Ⅱ）設若以O為中心，F為一個焦點的橢圓經過點Q，以c為變量，當取最小值時，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令，由題設知，，∵，∴，由此可求出的范圍．．
（Ⅱ）以O為原點，OF所在直線為x軸建立直角坐標系，并令Q（m，n），則F（c，0），由題設知.，．由此知，由此入手，當取最小值時，能夠求出橢圓的方程．
解答：解：（Ⅰ）令，
∵，∴，∴，
∵=，
∴，∵，∴，
∵θ∈[0，π]，∴．

（Ⅱ）以O為原點，OF所在直線為x軸建立直角坐標系，并令Q（m，n），則F（c，0），
且．
∵，
∴．
∴，∴．
∴，
∵c≥2，
∴當c=2時，最小，此時Q（），
設橢圓方程為，
∴，
∴a²=10，b²=6．
∴所求橢圓為．
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意積累解題方法．