Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

，（n∈N^*）

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，由數(shù)學(xué)歸納法的步驟，我們先判斷n=1時(shí)成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，只要能證明出當(dāng)n=k+1時(shí)，立即可得到所有的正整數(shù)n都成立

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=

(1+1)(2+1)

6

=1，即原式成立（2分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原式成立，即1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

（6分）
當(dāng)n=k+1時(shí)，1²+2²+3²+…+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

6

+(k+1)2=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

（10分）
即原式成立
根據(jù)（1）和（2）可知等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立
∴1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

（12分）

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法的步驟：①證明n=1時(shí)A式成立②然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，A式成立③證明當(dāng)n=k+1時(shí)，A式也成立④下緒論：A式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立．