Question

已知向量

a

=（cosωx，sinωx），

b

=（cosωx，

3

cosωx），其中（0＜ω＜2）．函數f(x)=

a

•

b

-

1

2

，其圖象的一條對稱軸為x=

π

6

．
（1）求函數f（x）的表達式及單調遞增區間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，S為其面積，若f(

A

2

)=1，b=l，S_△ABC=

3

，求BC邊上的中線AD的長．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量的數量積運算法則，由兩向量的坐標，化簡函數f（x）的解析式，分別利用二倍角的正弦、余弦函數公式變形后，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由x=

π

6

為函數的一條對稱軸，把x=

π

6

代入化簡后的函數解析式中，令其值等于±1，得到正弦函數的角度等于kπ+

π

2

，由ω的范圍，即可求出ω的值，確定出函數f（x）的解析式，根據正弦函數的單調遞增區間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，列出關于x的不等式，求出x的范圍即可得到函數的單調遞增區間；
（2）由f(

A

2

)=1，代入函數解析式得到sin（A+

π

6

）=1，根據A的范圍求出A+

π

6

的范圍，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，由sinA，b的值，以及三角形的面積，利用面積公式求出c的值，如圖，延長AD到E，使AD=DE，連接BE，EC，則四邊形ABEC為平行四邊形，根據平行四邊形的對邊平行且相等，得到鄰角互補，根據∠BAC的度數求出∠ABE的度數，且得到BE=AC=b，AB=c，在三角形ABE中，利用余弦定理求出AE的長，根據平行四邊形的對角線互相平分，即D為AE中點，由AE的長除以2即可得到AD的長．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

-

1

2

=cos²ωx+

3

sinωxcosωx-

1

2

=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=sin（2ωx+

π

6

），（3分）
當x=

π

6

時，sin（

ωπ

3

+

π

6

）=±1，即

ωπ

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，
∵0＜ω＜2，∴ω=1，（5分）
∴f（x）=sin（2x+

π

6

），
∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
所以函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；（7分）
（2）∵f（

A

2

）=sin（A+

π

6

）=1，在△ABC中，0＜A＜π，則

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
∴A+

π

6

=

π

2

，則A=

π

3

，
由S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

，b=1，得c=4，（9分）

如圖，延長AD到E，使AD=DE，連接BE，EC，
則四邊形ABEC為平行四邊形，
∴∠ABE=

2π

3

，AB=4，BE=1，
∴AE²=AB²+BE²-2AB•BEcos

2π

3

=21，
∴AD=

AE

2

=

21

2

．（12分）

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，余弦定理，三角形的面積公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的周期性及單調性，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．