Question

如圖所示的幾何體是由以正三角形ABC為底面的直棱柱被平面 DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O為AB的中點．
（1）當a=4時，求平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值；
（2）當a為何值時，在棱DE上存在點P，使CP⊥平面DEF？

Answer 1

分析：（1）通過建立空間直角坐標系，利用兩平面的法向量的夾角即可得到二面角的余弦值；
（2）通過建立空間直角坐標系，利用線面垂直的判定定理即可得出．

解答：解：（1）分別取AB、DF的中點O、G，連接OC、OG．
以直線OB、OC、OG分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵AF=a=4，則D、E、F的坐標分別為D（1，0，1）、E（0，

3

，3）、F（-1，0，4），
∴

DE

=（-1，

3

，2），

DF

=（-2，0，3）
設平面DEF的法向量

n

=(x，y，z)，
由

n • DE =0 n • DF =0

得

-x+ 3 y+2z=0 -2x+3z=0

，
令z=6，則x=9，y=-

3

，∴

n

=(9，-

3

，6)．
平面ABC的法向量可以取

m

=(0，0，1)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

6

92+(- 3 )2+62

=

30

10

．
∴平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值為

30

10

．
（2）在（1）的坐標系中，AF=a，

DE

=（-1，

3

，2），

DF

=（-2，0，a-1），C(0，

3

，0)．
因P在DE上，設

DP

=λ

DE

，
則

OP

=

OD

+

DP

=（1，0，1）+λ(-1，

3

，2)=(1-λ，

3

λ，2λ+1)．
∴

CP

=

OP

-

OC

=(1-λ，

3

(λ-1)，2λ+1)．
于是CP⊥平面DEF的充要條件為

CP • DE =0 CP • DF =0

，得到

λ-1+3(λ-1)+2(2λ+1)=0 -2(1-λ)+(a-1)(2λ+1)=0

                                 
由此解得，λ=

1

4

，a=2．
即當a=2時，在DE上存在靠近D的第一個四等分點P，使CP⊥平面DEF．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系并利用兩平面的法向量的夾角求二面角的余弦值、線面垂直的判定定理是解題的關鍵．