Question

【題目】某校高三年級在高校自主招生期間，把學生的平時成績按“百分制”折算并排序，選出前300名學生，并對這300名學生按成績分組，第一組[75，80），第二組[80，85），第三組[85，90），第四組[90，95），第五組[95，100]，如圖為頻率分布直方圖的一部分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數依次成等差數列． （Ⅰ）請在圖中補全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）若B大學決定在成績高的第4，5組中用
分層抽樣的方法抽取6名學生，并且分成2組，每組3人
進行面試，求95分（包括95分）以上的同學被分在同一個小組的概率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知， 第五組為：0.02×5×300=30人，
第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數以次是一個以30為首項，總和為300的等差數列，
∴第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數以次是30人，45人，60人，75人，90人．
∴繪制的頻率分布直方圖如右圖所示；
（Ⅱ）第四組中抽取人數： 人，
第五組中抽取人數： 人，
∴兩組共6人；
設第四組抽取的四人為A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， 第五組抽取的2人為B1 ， B2 ，
這六人分成兩組有兩種情況，
情況一：B1 ， B2在同一小組：（A1 ， A2 ， A3），（A4 ， B1 ， B2）；（A1 ， A2 ， A4），（A3 ， B1 ， B2）；
（A1 ， A3 ， A4），（A2 ， B1 ， B2）；（A2 ， A3 ， A4），（A1 ， B1 ， B2），共有4種可能結果；
情況二：B1 ， B2不在同一小組：（B1 ， A1 ， A2），（B2 ， A3 ， A4）；（B1 ， A1 ， A3），（B2 ， A2 ， A4）；
（B1 ， A1 ， A4），（B2 ， A2 ， A3）；（B1 ， A2 ， A3），（B2 ， A1 ， A4）；
（B1 ， A2 ， A4），（B2 ， A1 ， A3）；（B1 ， A3 ， A4），（B2 ， A1 ， A2），共有6種可能結果；
兩種情況總共10種可能結果，
∴兩人被分在一組的概率為 ．
（另解：兩人被分在一組的概率為 ）．

【解析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖求出第五組的數據，再根據題意求出第一組、第四組、第二組、第三組的數據來，由此繪制頻率分布直方圖；（Ⅱ）根據分層抽樣求出從第四、五組中抽取人數，組成樣本，用列舉法列出這六人分成兩組的基本事件數，求出第五組中的2人被分在一組的概率即可． （另解：用排列與組合的方法求出兩人被分在一組的概率也可）．
【考點精析】通過靈活運用頻率分布直方圖，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息即可以解答此題．