Question

已知函數f（x）=

3x

x+3

，數列{x_n}的通項由x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N⁺）確定．
（Ⅰ）求證：{

1

xn

}是等差數列； 
（Ⅱ）當x₁=

1

2

時，求x₁₀₀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據x_n=f（x_n-1）=

3xn-1

xn-1+3

，兩邊取倒數，即可證得 {

1

xn

}是等差數列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

1

xn

=2+（n-1）×

1

3

=

n+5

3

，由此可求x₁₀₀．

解答：（Ⅰ）證明：∵x_n=f（x_n-1）=

3xn-1

xn-1+3

∴

1

xn

=

1

3

+

1

xn-1

∴

1

xn

-

1

xn-1

=

1

3

∴{

1

xn

}是等差數列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得

1

xn

=2+（n-1）×

1

3

=

n+5

3

∴x₁₀₀=

3

105

=

1

35

點評：本題考查等差數列的證明，考查通項的運用，兩邊取倒數是關鍵．