Question

以下四個關于圓錐曲線的命題中：
①設A、B為兩個定點，k為非零常數，若||PA|-|PB||=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若

OP

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，則動點P的軌跡為橢圓；
③拋物線x=ay²（a≠0）的焦點坐標是(

1

4a

，0)；
④曲線

x2

16

-

y2

9

=1與曲線

x2

35-λ

+

y2

10-λ

=1（λ＜35且λ≠10）有相同的焦點．
其中真命題的序號為

 

寫出所有真命題的序號．

Answer 1

分析：①利用雙曲線的定義中對a，c的要求即可判斷．
②把定圓C和定點A具體化，利用向量間的關系求出點B和點P的坐標間的關系，再利用B在圓上就可求出動點P的軌跡，然后在下結論即可．
③先把拋物線轉化為標準形式，再利用焦點坐標和標準方程中P的關系就可判斷
④把兩曲線的焦點分別求出，就可下結論．

解答：解：①因為雙曲線的定義中要求k＜|AB|故①不成立
②設定圓C的方程為x²+y²=9，點A（3，0），B（a，b），點P（x，y），
則由

OP

=

1

2

OA

+

1

2

OB

得動點P為動弦AB的中點，所以有

x= a+3 2 y= b 2

?

a=2x-3 b=2y

又因為點B在圓上所以有（2x-3）²+（2y）²=9
即動點P的軌跡為圓．所以②為假命題．
③先把拋物線轉化為標準形式y²=

1

a

x，a＞0，2p=

1

a

，

p

2

=

1

4a

，焦點坐標是(

1

4a

，0)；
a＜0，2p=-

1

a

，

p

2

=-

1

4a

，焦點坐標是(

1

4a

，0)；③為真命題．
④因為曲線

x2

16

-

y2

9

=1的焦點為（5，0）（-5，0）．
而由曲線

x2

35-λ

+

y2

10-λ

=1中λ＜35且λ≠10知表示的是a²=35-λ，b²=10-λ，c²=25，的橢圓，所以焦點為（5，0）（-5，0）．即④為真命題．
故答案為  ③④．

點評：本題是對圓錐曲線問題的綜合考查．象這一類型題，一般是做為壓軸題出現的，所以有點難度．